Problema 3

(este post es la resolución del problema planteado aquí)

El problema original dice:

En un poblado africano hay 32 misioneros, cada uno de los cuales ha convertido a 5
indígenas. Por otra parte, cada indígena ha sido convertido por 8 misioneros. 

¿Cuál es el número de indígenas?

 Seguramente habrá alguna rama de la matemática que se ha dedicado a este tipo de cosas durante el tiempo necesario como para que no tenga sentido el camino largo y tedioso que estoy a punto de emprender... pero esa fórmula mágica que seguramente resuelve esto en dos pasos no la conozco, así que tendré que razonar... lo cual, por supuesto, no me molesta en absoluto... después de todo para qué se mete uno en matemática si no es para razonar... Veamos...

Uno podría empezar pensando que si 32 misioneros convirtieron a 5 indígenas cada uno, habrá entonces 32x5 indígenas, que sería 160. Si el problema terminara allí, es decir, si constara sólo de la primera oración, esta sería la respuesta (160) pero el problema no sería de mayor interés, al menos para aficionados a la matemática mayores a 8 años... 

La segunda oración da otro dato.Si lo tomáramos aislado (como hicimos recién) tendríamos que si cada indígena fue convertido por 8 misioneros y los misioneros son 32, entonces hay 4 indígenas... es decir, 32/8... pero sabemos que no es así, ya que esa sería la respuesta si los 8 misioneros que convierten a cada indígena fueran únicos, es decir, si sólo hubieran convertido a ESE indígena esos ocho y a nadie más.

Supondremos entonces que la respuesta correcta estará entre 4 y 160, lo cual nos da un conjunto bastante reducido... Veamos cómo seguir... pensemos un problema similar, pero más chico.

Representemos a los misioneros con puntos, ubicados a la izquierda de la pantalla y a los indígenas con otros puntos (no sabemos cuántos todavía) ubicados a la derecha de la pantalla. Ahora unimos con una línea los puntos de la izquierda con los de la derecha, cuidando de unir un misionero con un indígena cuando este misionero haya convertido a ese indígena. OK,se imaginan esa situación, la visualizan?, ok... entonces hagamos el siguiente razonamiento:

Cada línea une dos puntos.

De cada punto sale una cantidad de líneas, de los de la izquierda salen 5 de cada uno, ya que cada misionero convirtió a 5 indígenas, de los de la derecha salen 8 de cada uno, ya que cada indígena fue convertido por 8 misioneros.

Digamos que el valor de cada punto de la izquierda es 5 y el valor de cada punto de la derecha es 8... cuánto será la suma de TODOS los valores de TODOS los puntos? Será 32x5+8xN, donde N será el número de indígenas...

Ahora bien, ese valor, la suma que acabamos de razonar, que es? Estamos contando todas las salidas y llegadas de todas las líneas, pero cada línea puede sólo salir de un punto y llegar a otro, es decir, que cada línea suma uno al valor de un punto y suma uno al valor del otro punto, lo cual hace que en la suma final de "valores" tengamos el doble de la cantidad de líneas... se entiende? (si no se entiende, consulten en comentarios).

Entonces tenemos: 32x5+8xN=2x(n°de líneas.)

Y cuál es el número de líneas? Y, como de cada misionero salen 5 líneas y esas son las únicas líneas que hay, entonces la cantidad es 32x5. Como 32x5=160, nos queda:

160+8xN=2x160 (pasamos el 160 de la izquierda a la derecha)

8xN=2x160-160

8N=160

N=160/8

N=20.

Esto que acabamos de resolver con un razonamiento que suena más a trabalenguas que a matemática, es un tema tratado dentro de la llamada Matemática Discreta, en su capítulo sobre Grafos.

Sobre este tema pueden leer esto: GRAFOS y sobre la propiedad particular que acabamos de usar, ESTO. 

Se trata sobre los grados de los vértices de un grafo, que es la cantidad de aristas que salen (o llegan) de un vértice. Hay una propiedad que dice que la suma de los grados de todos los vértices de un grafo es igual al doble de la cantidad de aristas. Este razonamiento, leído detenidamente, en alguna forma explica el porqué de la propiedad citada.

Saludos y nos vemos en los comentarios...