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Es garantía de aprobación.
Suerte.
miércoles, 2 de octubre de 2013
domingo, 15 de agosto de 2010
Problema 5
(Este post es la resolución del problema planteado aqui)
Se trata de determinar la cantidad de zonas determinadas en un diagrama de Venn de, digamos, n conjuntos.
Primero debemos ver bien la definición de diagrama de Venn, ya que de ésta depende el razonamiento posterior. Un diagrama es un diagrama de Venn, si los conjuntos están representados por curvas cerradas que se intersecan determinando una zona para cada combinación posible de conjuntos.
Esto es así porque el diagrama de Venn debe poder representar cualquier situación entre los conjuntos que intervienen. Digamos, si son 3 conjuntos, debe haber una zona que pertenezca sólo al primer conjunto, otra sólo al segundo y otra sólo al tercero. Pero también tiene que haber una zona para la intersección del primero con el segundo, otra para el segundo con el tercero y otra para el primero con el tercero. Por último deberá haber una zona donde representar los elementos que pertenecen a los tres conjuntos a la vez, es decir la intersección de los tres.
Si releemos el párrafo anterior, prácticamente queda respondida la pregunta del problema... si les parece, les dejo un rato para pensarlo... (por supuesto, en un texto, esperar un rato significa la línea siquiente... el rato corre por cuenta del lector).
Supongamos, como dije, que tenemos 3 conjuntos, A, B y C. El diagrama de Venn de esos 3 conjuntos debe cumplir todo lo que dije recién, así que pongamos un símbolo para la intersección, a falta de correspondiente. Definimos al sómbolo # como intersección. Entonces debemos tener una zona correspondiente a los elementos que no están ni en A, ni en B, ni en C, llamemos a esa zona, la zona 0.
Otra zona para los elementos que están sólo en A, y la llamamos 1.
Otra para los de B, la llamamos 2.
Otra para los de C, la zona 3.
Luego tendremos una zona para A#B, la zona 4.
Otra para A#C, la 5
Y otra para B#C, que es la 6.
Por último, la zona correspondiente a A#B#C, que es la 7.
En total, son 8 zonas.
0=ningún conjunto
1=A
2=B
3=C
4=A#B
5=B#C
6=A#C
7=A#B#C
Pero esto se parece mucho a los subconjuntos de un conjunto Q={A,B,C}...
Y esos subconjuntos ya sabemos que son 2 elevado a la cantidad de elementos. En este caso los elementos, A,B y C, son conjuntos, pero no importa. Pensar las posibles intersecciones entre ellos es lo mismo que pensar todas las formas de combinar 1, 2 o 3 elementos tomados entre A, B y C.
Es decir que, dada una cantidad n de conjuntos, su diagrama de Venn correspondiente deberá tener 2^n zonas, contando la zona exterior, que no está en ningún conjunto, como una de las zonas.
Así, con dos conjuntos, habrá 2^2=4 zonas. La zona de A, la de B, la de A y B y la que no está en ninguno de los dos conjuntos.
Saludos. Cualquier duda, en los comentarios.
(Nota: esta es la respuesta a la pregunta final del post, la pregunta anterior a esa no tiene respuesta aún, algunos matemáticos seguramente están en estos momentos intentando encontrar la respuesta, o al menos demostrar que no hay respuesta, que es lo mismo. Yo, por lo pronto, lo planteo simplemente porque alguien que anda por ahí podría enterarse y de repente iluminarse con una idea nunca antes pensada. Nunca se sabe.)
Se trata de determinar la cantidad de zonas determinadas en un diagrama de Venn de, digamos, n conjuntos.
Primero debemos ver bien la definición de diagrama de Venn, ya que de ésta depende el razonamiento posterior. Un diagrama es un diagrama de Venn, si los conjuntos están representados por curvas cerradas que se intersecan determinando una zona para cada combinación posible de conjuntos.
Esto es así porque el diagrama de Venn debe poder representar cualquier situación entre los conjuntos que intervienen. Digamos, si son 3 conjuntos, debe haber una zona que pertenezca sólo al primer conjunto, otra sólo al segundo y otra sólo al tercero. Pero también tiene que haber una zona para la intersección del primero con el segundo, otra para el segundo con el tercero y otra para el primero con el tercero. Por último deberá haber una zona donde representar los elementos que pertenecen a los tres conjuntos a la vez, es decir la intersección de los tres.
Si releemos el párrafo anterior, prácticamente queda respondida la pregunta del problema... si les parece, les dejo un rato para pensarlo... (por supuesto, en un texto, esperar un rato significa la línea siquiente... el rato corre por cuenta del lector).
Supongamos, como dije, que tenemos 3 conjuntos, A, B y C. El diagrama de Venn de esos 3 conjuntos debe cumplir todo lo que dije recién, así que pongamos un símbolo para la intersección, a falta de correspondiente. Definimos al sómbolo # como intersección. Entonces debemos tener una zona correspondiente a los elementos que no están ni en A, ni en B, ni en C, llamemos a esa zona, la zona 0.
Otra zona para los elementos que están sólo en A, y la llamamos 1.
Otra para los de B, la llamamos 2.
Otra para los de C, la zona 3.
Luego tendremos una zona para A#B, la zona 4.
Otra para A#C, la 5
Y otra para B#C, que es la 6.
Por último, la zona correspondiente a A#B#C, que es la 7.
En total, son 8 zonas.
0=ningún conjunto
1=A
2=B
3=C
4=A#B
5=B#C
6=A#C
7=A#B#C
Pero esto se parece mucho a los subconjuntos de un conjunto Q={A,B,C}...
Y esos subconjuntos ya sabemos que son 2 elevado a la cantidad de elementos. En este caso los elementos, A,B y C, son conjuntos, pero no importa. Pensar las posibles intersecciones entre ellos es lo mismo que pensar todas las formas de combinar 1, 2 o 3 elementos tomados entre A, B y C.
Es decir que, dada una cantidad n de conjuntos, su diagrama de Venn correspondiente deberá tener 2^n zonas, contando la zona exterior, que no está en ningún conjunto, como una de las zonas.
Así, con dos conjuntos, habrá 2^2=4 zonas. La zona de A, la de B, la de A y B y la que no está en ninguno de los dos conjuntos.
Saludos. Cualquier duda, en los comentarios.
(Nota: esta es la respuesta a la pregunta final del post, la pregunta anterior a esa no tiene respuesta aún, algunos matemáticos seguramente están en estos momentos intentando encontrar la respuesta, o al menos demostrar que no hay respuesta, que es lo mismo. Yo, por lo pronto, lo planteo simplemente porque alguien que anda por ahí podría enterarse y de repente iluminarse con una idea nunca antes pensada. Nunca se sabe.)
Problema 3
(este post es la resolución del problema planteado aquí)
El problema original dice:
En un poblado africano hay 32 misioneros, cada uno de los cuales ha convertido a 5
indígenas. Por otra parte, cada indígena ha sido convertido por 8 misioneros.
indígenas. Por otra parte, cada indígena ha sido convertido por 8 misioneros.
¿Cuál es el número de indígenas?
Seguramente habrá alguna rama de la matemática que se ha dedicado a este tipo de cosas durante el tiempo necesario como para que no tenga sentido el camino largo y tedioso que estoy a punto de emprender... pero esa fórmula mágica que seguramente resuelve esto en dos pasos no la conozco, así que tendré que razonar... lo cual, por supuesto, no me molesta en absoluto... después de todo para qué se mete uno en matemática si no es para razonar... Veamos...
Uno podría empezar pensando que si 32 misioneros convirtieron a 5 indígenas cada uno, habrá entonces 32x5 indígenas, que sería 160. Si el problema terminara allí, es decir, si constara sólo de la primera oración, esta sería la respuesta (160) pero el problema no sería de mayor interés, al menos para aficionados a la matemática mayores a 8 años...
La segunda oración da otro dato.Si lo tomáramos aislado (como hicimos recién) tendríamos que si cada indígena fue convertido por 8 misioneros y los misioneros son 32, entonces hay 4 indígenas... es decir, 32/8... pero sabemos que no es así, ya que esa sería la respuesta si los 8 misioneros que convierten a cada indígena fueran únicos, es decir, si sólo hubieran convertido a ESE indígena esos ocho y a nadie más.
Supondremos entonces que la respuesta correcta estará entre 4 y 160, lo cual nos da un conjunto bastante reducido... Veamos cómo seguir... pensemos un problema similar, pero más chico.
Representemos a los misioneros con puntos, ubicados a la izquierda de la pantalla y a los indígenas con otros puntos (no sabemos cuántos todavía) ubicados a la derecha de la pantalla. Ahora unimos con una línea los puntos de la izquierda con los de la derecha, cuidando de unir un misionero con un indígena cuando este misionero haya convertido a ese indígena. OK,se imaginan esa situación, la visualizan?, ok... entonces hagamos el siguiente razonamiento:
Cada línea une dos puntos.
De cada punto sale una cantidad de líneas, de los de la izquierda salen 5 de cada uno, ya que cada misionero convirtió a 5 indígenas, de los de la derecha salen 8 de cada uno, ya que cada indígena fue convertido por 8 misioneros.
Digamos que el valor de cada punto de la izquierda es 5 y el valor de cada punto de la derecha es 8... cuánto será la suma de TODOS los valores de TODOS los puntos? Será 32x5+8xN, donde N será el número de indígenas...
Ahora bien, ese valor, la suma que acabamos de razonar, que es? Estamos contando todas las salidas y llegadas de todas las líneas, pero cada línea puede sólo salir de un punto y llegar a otro, es decir, que cada línea suma uno al valor de un punto y suma uno al valor del otro punto, lo cual hace que en la suma final de "valores" tengamos el doble de la cantidad de líneas... se entiende? (si no se entiende, consulten en comentarios).
Entonces tenemos: 32x5+8xN=2x(n°de líneas.)
Y cuál es el número de líneas? Y, como de cada misionero salen 5 líneas y esas son las únicas líneas que hay, entonces la cantidad es 32x5. Como 32x5=160, nos queda:
160+8xN=2x160 (pasamos el 160 de la izquierda a la derecha)
8xN=2x160-160
8N=160
N=160/8
N=20.
Esto que acabamos de resolver con un razonamiento que suena más a trabalenguas que a matemática, es un tema tratado dentro de la llamada Matemática Discreta, en su capítulo sobre Grafos.
Sobre este tema pueden leer esto: GRAFOS y sobre la propiedad particular que acabamos de usar, ESTO.
Se trata sobre los grados de los vértices de un grafo, que es la cantidad de aristas que salen (o llegan) de un vértice. Hay una propiedad que dice que la suma de los grados de todos los vértices de un grafo es igual al doble de la cantidad de aristas. Este razonamiento, leído detenidamente, en alguna forma explica el porqué de la propiedad citada.
Saludos y nos vemos en los comentarios...
Problema 2
(este post es la resolución del problema planteado aquí)
Se trata de encontrar una fórmula para hallar ternas pitagóricas dado un valor n cualquiera.Veamos...
Para empezar, tomemos un método bastante conocido para encontrar ternas. Dados dos valores cualesquiera, distintos y naturales a y b, tales que a>b, los números:
p=2ab
q=a^2-b^2
r=a^2+b^2
formarán siempre una terna pitagórica. Por ejemplo, para a=5 y b=2 tenemos:
p=2.5.2=20
q=5^2-2^2=25-4=21
r=25+4=29
y se cumple que 20^2+21^2=400+441=841=29^2.
Esta terna, además de pitagórica, es primitiva, es decir, no es múltiplo de ninguna otra terna. Pero si hubiéramos tomado, por ejemplo, a=6 y b=3, tendríamos:
p=36
q=27
r=45
Que es una terna pitagórica, pero es igual a (3,4,5) multiplicada por 9, así que no es primitiva.
Veamos uno más: a=5 y b=3. Nos queda:
p=30
q=25-9=16
r=25+9=34
(30,16,34) es efectivamente una TP (verificar si hay alguna duda) pero no es primitiva, ya que (30,16,34)=2x(15,8,17).
Para que este método nos de siempre una TPP, debemos hacer que a y b cumplan un par de condiciones más. Una de ellas es que no pueden tener la misma paridad, es decir, no pueden ser los dos pares o los dos impares. La otra es que deben ser coprimos. Esto significa que el máximo común divisor entre ellos debe ser 1. Dicho de otra forma: ninguno de los divisores distintos de 1 de a debe ser divisor de b y viceversa.
En segundo ejemplo, a=6 y b=3, no se cumple esta última condición, ya que ambos números son divisibles por 3, por eso da como resultado una terna no primitiva. En el último ejemplo, a=5 y b=3, son coprimos, pero son ambos impares, por eso da una terna no primitiva. En el primer ejemplo, a=5 y b=2, se cumple todo, por eso da una terna primitiva.
Hasta aquí tenemos, entonces, un método infalible para hallar cualquier terna primitiva. Luego los múltiplos de ellas serán TODAS las TP que existen. Pero nos falta reducir este método para que sólo sea necesario UN número, y no dos... veamos eso...
Vale aclarar que no pedí en el problema que la fórmula de TODAS las térnas pitagóricas, sino que, dado un solo número, remplazándolo en las tres fórmulas, de siempre tres números que formen una terna pitagórica.
Lo que vamos a encontrar ahora es una fórmula que si bien da siempre ternas pitagóricas primitivas, no las da todas, ahora veremos por qué.
Supongamos que tomamos como valores de a y b dos números que difieran en 1, digamos que a-b=1, o sea que b=a-1. Estos dos números tienen dos cualidades que los hacen especiales para este tema: son sompre coprimos y de distinta paridad. (Verifique esto si tiene ganas, o pregunte en los comentarios).
Por lo tanto, remplazando esto en las fórmulas originales, tenemos:
p=2.a.b=2.a.(a-1)=2a^2-2a
q=a^2-b^2=a^2-(a-1)^2=a^2-a^2+2a-1=2a-1
r=a^2+b^2=a^2+(a-1)^2=a^2+a^2-2a+1=2a^2-2a+1
Veamos si esto es cierto para algún número, por ejemplo, a=5.
p=2.25-2.5=50-10=40
q=2.5-1=10-1=9
r=2.25-2.5+1=50-10+1=41
Y se verifica que 40^2+9^2=41^2 (verifique, incrédulo!).
Por lo tanto hemos encontrado la fórmula pedida. Por haber sido calculadas pensando en a y b coprimos y de distinta paridad, siempre obtendremos TPP, pero, como dije, no todas, ya que, por ejemplo, la terna (20,21,29) nunca la hallaremos con estas fórmulas.
Saludos y cualquier consulta en los comentarios.
Se trata de encontrar una fórmula para hallar ternas pitagóricas dado un valor n cualquiera.Veamos...
Para empezar, tomemos un método bastante conocido para encontrar ternas. Dados dos valores cualesquiera, distintos y naturales a y b, tales que a>b, los números:
p=2ab
q=a^2-b^2
r=a^2+b^2
formarán siempre una terna pitagórica. Por ejemplo, para a=5 y b=2 tenemos:
p=2.5.2=20
q=5^2-2^2=25-4=21
r=25+4=29
y se cumple que 20^2+21^2=400+441=841=29^2.
Esta terna, además de pitagórica, es primitiva, es decir, no es múltiplo de ninguna otra terna. Pero si hubiéramos tomado, por ejemplo, a=6 y b=3, tendríamos:
p=36
q=27
r=45
Que es una terna pitagórica, pero es igual a (3,4,5) multiplicada por 9, así que no es primitiva.
Veamos uno más: a=5 y b=3. Nos queda:
p=30
q=25-9=16
r=25+9=34
(30,16,34) es efectivamente una TP (verificar si hay alguna duda) pero no es primitiva, ya que (30,16,34)=2x(15,8,17).
Para que este método nos de siempre una TPP, debemos hacer que a y b cumplan un par de condiciones más. Una de ellas es que no pueden tener la misma paridad, es decir, no pueden ser los dos pares o los dos impares. La otra es que deben ser coprimos. Esto significa que el máximo común divisor entre ellos debe ser 1. Dicho de otra forma: ninguno de los divisores distintos de 1 de a debe ser divisor de b y viceversa.
En segundo ejemplo, a=6 y b=3, no se cumple esta última condición, ya que ambos números son divisibles por 3, por eso da como resultado una terna no primitiva. En el último ejemplo, a=5 y b=3, son coprimos, pero son ambos impares, por eso da una terna no primitiva. En el primer ejemplo, a=5 y b=2, se cumple todo, por eso da una terna primitiva.
Hasta aquí tenemos, entonces, un método infalible para hallar cualquier terna primitiva. Luego los múltiplos de ellas serán TODAS las TP que existen. Pero nos falta reducir este método para que sólo sea necesario UN número, y no dos... veamos eso...
Vale aclarar que no pedí en el problema que la fórmula de TODAS las térnas pitagóricas, sino que, dado un solo número, remplazándolo en las tres fórmulas, de siempre tres números que formen una terna pitagórica.
Lo que vamos a encontrar ahora es una fórmula que si bien da siempre ternas pitagóricas primitivas, no las da todas, ahora veremos por qué.
Supongamos que tomamos como valores de a y b dos números que difieran en 1, digamos que a-b=1, o sea que b=a-1. Estos dos números tienen dos cualidades que los hacen especiales para este tema: son sompre coprimos y de distinta paridad. (Verifique esto si tiene ganas, o pregunte en los comentarios).
Por lo tanto, remplazando esto en las fórmulas originales, tenemos:
p=2.a.b=2.a.(a-1)=2a^2-2a
q=a^2-b^2=a^2-(a-1)^2=a^2-a^2+2a-1=2a-1
r=a^2+b^2=a^2+(a-1)^2=a^2+a^2-2a+1=2a^2-2a+1
Veamos si esto es cierto para algún número, por ejemplo, a=5.
p=2.25-2.5=50-10=40
q=2.5-1=10-1=9
r=2.25-2.5+1=50-10+1=41
Y se verifica que 40^2+9^2=41^2 (verifique, incrédulo!).
Por lo tanto hemos encontrado la fórmula pedida. Por haber sido calculadas pensando en a y b coprimos y de distinta paridad, siempre obtendremos TPP, pero, como dije, no todas, ya que, por ejemplo, la terna (20,21,29) nunca la hallaremos con estas fórmulas.
Saludos y cualquier consulta en los comentarios.
Problema 1
(este post es la resolución del problema planteado aquí)
Para encarar la solución de este problema, pensemos uno más pequeño. Supongamos que tenemos un conjunto con los números del 1 al 3 (en lugar de 1 a 2010).
A={1,2,3}
Ahora escribir todos los subconjuntos posibles de este conjunto, lo que llamamos el conjunto de partes de A y lo escribimos P(A), es mucho más simple:
P(A)={{0},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} (el cero "0" representa el conjunto vacío)
Estos conjuntos ya tienen sus elementos ordenado de menor a mayor, por lo que lo único que falta es hacer la operación de suma alternada de los elementos. Llamaré A0, A1, A2, etc.. a cada subconjunto:
A0={0} -> 0
A1={1} -> 1
A2={2} -> 2
A3={3} -> 3
A4={1,2} -> 1-2=-1
A5={1,3} -> 1-3=-2
A6={2,3} -> 2-3=-1
A7={1,2,3} -> 1-2+3=2
Luego, la suma de todos esos resultados será:
0+1+2+3-1-2-1+2=4
Ese resultado por si solo no nos dice mucho. Para empezar, podemos observar que, siendo el total de subconjuntos 8, el 4 vendría a ser la mitad... podemos suponer, entonces, que el resultado será la mitad de la cantidad de subconjuntos, pero para eso tendríamos que tener, al menos, un ejemplo más. Y aun así no sería para nada suficiente, ya que de las infinitas posibilidades estaríamos tomando sólo 2 para dar una propiedad.
Debemos pensar un poco más.
Miremos los elementos de cada subconjunto. Una cosa que podemos notar es que el 1 aparece en la mitad de ellos, específicamente en A1, A4, A5 y A7. Lo mismo pasa con el 2 y con el 3, cada elemento aparece en la mitad de los subconjuntos. Bien...
El 1, por ser el menor de los elementos, aparecerá siempre en el primer lugar (siempre que aparezca, claro), por lo que siempre tendrá signo positivo y agregará a la suma total 1 por cada uno de los subconjuntos donde aparece, que son la mitad. Bien...
El 2? Aparece en la mitad de los subconjuntos, lo sabemos, pero en qué posición? En algunos, los que tienen el 1, aparece segundo. En otros, los que no tienen el 1, aparece primero... ¿Puede aparecer en otra posición que no sea la primera o la segunda? La respuesta es NO. Por lo tanto, aparecerá en algunos con signo positivo (cuando esté primero) y en otros con signo negativo (cuando esté segundo), pero la pregunta es cuántas veces está primero y cuántas segundo... y la respuesta, observando lo de arriba, es que la mitad de las veces que aparece, lo hace primero, la otra mitad, segundo.
Si se piensa un poco esto, hasta puede llegar a parecer evidente para alguno: todos los números aparecen en la mitad de los subconjuntos y la mitad de las veces que aparecen están en una posición par, la otra mitad en una posición impar...
Esto último significa que, por ejemplo, el 2, aparece la misma cantidad de veces primero (positivo) que segundo (negativo) por lo que en la suma total, se anulará a si mismo... y no agregará nada...
Como todos los números cumplen esto, al hacer la cuenta final sólo los unos agregarán algo a la cuenta y, como dije antes, esa cantidad es igual a la mitad de la cantidad de subconjuntos, es decir, en el ejemplo de recién, 4, ya que los subconjuntos son 8.
Hasta acá se entendió? Si la respuesta es afirmativa, siga leyendo, si no, vuelva para arriba y dese una segunda oportunidad...
Ahora bien, en el ejercicio planteado, el razonamiento es exactamente igual. La cantidad de subconjuntos es 2^2010, que es un número enorme. La mitad de esos subconjuntos tienen un 1 adelante, el resto de los números se anulará en la suma final. Por lo tanto, el resultado de la suma será la mitad de la cantidad de subconjuntos, es decir (2^2010)/2...
Pero como el número que estamos dividiendo por dos es justamente una potencia de dos, podemos restar los exponentes de ambos 2, (2010-1) y decir que la respuesta del ejercicio es:
Saludos y nos estamos viendo...
Para encarar la solución de este problema, pensemos uno más pequeño. Supongamos que tenemos un conjunto con los números del 1 al 3 (en lugar de 1 a 2010).
A={1,2,3}
Ahora escribir todos los subconjuntos posibles de este conjunto, lo que llamamos el conjunto de partes de A y lo escribimos P(A), es mucho más simple:
P(A)={{0},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} (el cero "0" representa el conjunto vacío)
Estos conjuntos ya tienen sus elementos ordenado de menor a mayor, por lo que lo único que falta es hacer la operación de suma alternada de los elementos. Llamaré A0, A1, A2, etc.. a cada subconjunto:
A0={0} -> 0
A1={1} -> 1
A2={2} -> 2
A3={3} -> 3
A4={1,2} -> 1-2=-1
A5={1,3} -> 1-3=-2
A6={2,3} -> 2-3=-1
A7={1,2,3} -> 1-2+3=2
Luego, la suma de todos esos resultados será:
0+1+2+3-1-2-1+2=4
Ese resultado por si solo no nos dice mucho. Para empezar, podemos observar que, siendo el total de subconjuntos 8, el 4 vendría a ser la mitad... podemos suponer, entonces, que el resultado será la mitad de la cantidad de subconjuntos, pero para eso tendríamos que tener, al menos, un ejemplo más. Y aun así no sería para nada suficiente, ya que de las infinitas posibilidades estaríamos tomando sólo 2 para dar una propiedad.
Debemos pensar un poco más.
Miremos los elementos de cada subconjunto. Una cosa que podemos notar es que el 1 aparece en la mitad de ellos, específicamente en A1, A4, A5 y A7. Lo mismo pasa con el 2 y con el 3, cada elemento aparece en la mitad de los subconjuntos. Bien...
El 1, por ser el menor de los elementos, aparecerá siempre en el primer lugar (siempre que aparezca, claro), por lo que siempre tendrá signo positivo y agregará a la suma total 1 por cada uno de los subconjuntos donde aparece, que son la mitad. Bien...
El 2? Aparece en la mitad de los subconjuntos, lo sabemos, pero en qué posición? En algunos, los que tienen el 1, aparece segundo. En otros, los que no tienen el 1, aparece primero... ¿Puede aparecer en otra posición que no sea la primera o la segunda? La respuesta es NO. Por lo tanto, aparecerá en algunos con signo positivo (cuando esté primero) y en otros con signo negativo (cuando esté segundo), pero la pregunta es cuántas veces está primero y cuántas segundo... y la respuesta, observando lo de arriba, es que la mitad de las veces que aparece, lo hace primero, la otra mitad, segundo.
Si se piensa un poco esto, hasta puede llegar a parecer evidente para alguno: todos los números aparecen en la mitad de los subconjuntos y la mitad de las veces que aparecen están en una posición par, la otra mitad en una posición impar...
Esto último significa que, por ejemplo, el 2, aparece la misma cantidad de veces primero (positivo) que segundo (negativo) por lo que en la suma total, se anulará a si mismo... y no agregará nada...
Como todos los números cumplen esto, al hacer la cuenta final sólo los unos agregarán algo a la cuenta y, como dije antes, esa cantidad es igual a la mitad de la cantidad de subconjuntos, es decir, en el ejemplo de recién, 4, ya que los subconjuntos son 8.
Hasta acá se entendió? Si la respuesta es afirmativa, siga leyendo, si no, vuelva para arriba y dese una segunda oportunidad...
Ahora bien, en el ejercicio planteado, el razonamiento es exactamente igual. La cantidad de subconjuntos es 2^2010, que es un número enorme. La mitad de esos subconjuntos tienen un 1 adelante, el resto de los números se anulará en la suma final. Por lo tanto, el resultado de la suma será la mitad de la cantidad de subconjuntos, es decir (2^2010)/2...
Pero como el número que estamos dividiendo por dos es justamente una potencia de dos, podemos restar los exponentes de ambos 2, (2010-1) y decir que la respuesta del ejercicio es:
2^2009
Saludos y nos estamos viendo...
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