domingo, 15 de agosto de 2010

Problema 5

(Este post es la resolución del problema planteado aqui)


Se trata de determinar la cantidad de zonas determinadas en un diagrama de Venn de, digamos, n conjuntos.


Primero debemos ver bien la definición de diagrama de Venn, ya que de ésta depende el razonamiento posterior. Un diagrama es un diagrama de Venn, si los conjuntos están representados por curvas cerradas que se intersecan determinando una zona para cada combinación posible de conjuntos.


Esto es así porque el diagrama de Venn debe poder representar cualquier situación entre los conjuntos que intervienen. Digamos, si son 3 conjuntos, debe haber una zona que pertenezca sólo al primer conjunto, otra sólo al segundo y otra sólo al tercero. Pero también tiene que haber una zona para la intersección del primero con el segundo, otra para el segundo con el tercero y otra para el primero con el tercero. Por último deberá haber una zona donde representar los elementos que pertenecen a los tres conjuntos a la vez, es decir la intersección de los tres.


Si releemos el párrafo anterior, prácticamente queda respondida la pregunta del problema... si les parece, les dejo un rato para pensarlo... (por supuesto, en un texto, esperar un rato significa la línea siquiente... el rato corre por cuenta del lector).
Supongamos, como dije, que tenemos 3 conjuntos, A, B y C. El diagrama de Venn de esos 3 conjuntos debe cumplir todo lo que dije recién, así que pongamos un símbolo para la intersección, a falta de correspondiente. Definimos al sómbolo # como intersección. Entonces debemos tener una zona correspondiente a los elementos que no están ni en A, ni en B, ni en C, llamemos a esa zona, la zona 0.
Otra zona para los elementos que están sólo en A, y la llamamos 1.
Otra para los de B, la llamamos 2.
Otra para los de C, la zona 3.
Luego tendremos una zona para A#B, la zona 4.
Otra para A#C, la 5
Y otra para B#C, que es la 6.
Por último, la zona correspondiente a A#B#C, que es la 7.


En total, son 8 zonas.
0=ningún conjunto
1=A
2=B
3=C
4=A#B
5=B#C
6=A#C
7=A#B#C


Pero esto se parece mucho a los subconjuntos de un conjunto Q={A,B,C}...
Y esos subconjuntos ya sabemos que son 2 elevado a la cantidad de elementos. En este caso los elementos, A,B y C, son conjuntos, pero no importa. Pensar las posibles intersecciones entre ellos es lo mismo que pensar todas las formas de combinar 1, 2 o 3 elementos tomados entre A, B y C.


Es decir que, dada una cantidad n de conjuntos, su diagrama de Venn correspondiente deberá tener 2^n zonas, contando la zona exterior, que no está en ningún conjunto, como una de las zonas.


Así, con dos conjuntos, habrá 2^2=4 zonas. La zona de A, la de B, la de A y B y la que no está en ninguno de los dos conjuntos.


Saludos. Cualquier duda, en los comentarios.


(Nota: esta es la respuesta a la pregunta final del post, la pregunta anterior a esa no tiene respuesta aún, algunos matemáticos seguramente están en estos momentos intentando encontrar la respuesta, o al menos demostrar que no hay respuesta, que es lo mismo. Yo, por lo pronto, lo planteo simplemente porque alguien que anda por ahí podría enterarse y de repente iluminarse con una idea nunca antes pensada. Nunca se sabe.)

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