Problema 2

(este post es la resolución del problema planteado aquí)


Se trata de encontrar una fórmula para hallar ternas pitagóricas dado un valor n cualquiera.Veamos...


Para empezar, tomemos un método bastante conocido para encontrar ternas. Dados dos valores cualesquiera, distintos y naturales a y b, tales que a>b, los números:


p=2ab
q=a^2-b^2
r=a^2+b^2


formarán siempre una terna pitagórica. Por ejemplo, para a=5 y b=2 tenemos:


p=2.5.2=20
q=5^2-2^2=25-4=21
r=25+4=29


y se cumple que 20^2+21^2=400+441=841=29^2.


Esta terna, además de pitagórica, es primitiva, es decir, no es múltiplo de ninguna otra terna. Pero si hubiéramos tomado, por ejemplo, a=6 y b=3, tendríamos:


p=36
q=27
r=45


Que es una terna pitagórica, pero es igual a (3,4,5) multiplicada por 9, así que no es primitiva.


Veamos uno más: a=5 y b=3. Nos queda:


p=30
q=25-9=16
r=25+9=34


(30,16,34) es efectivamente una TP (verificar si hay alguna duda) pero no es primitiva, ya que (30,16,34)=2x(15,8,17).


Para que este método nos de siempre una TPP, debemos hacer que a y b cumplan un par de condiciones más. Una de ellas es que no pueden tener la misma paridad, es decir, no pueden ser los dos pares o los dos impares. La otra es que deben ser coprimos. Esto significa que el máximo común divisor entre ellos debe ser 1. Dicho de otra forma: ninguno de los divisores distintos de 1 de a debe ser divisor de b y viceversa.


En segundo ejemplo, a=6 y b=3, no se cumple esta última condición, ya que ambos números son divisibles por 3, por eso da como resultado una terna no primitiva. En el último ejemplo, a=5 y b=3, son coprimos, pero son ambos impares, por eso da una terna no primitiva. En el primer ejemplo, a=5 y b=2, se cumple todo, por eso da una terna primitiva.


Hasta aquí tenemos, entonces, un método infalible para hallar cualquier terna primitiva. Luego los múltiplos de ellas serán TODAS las TP que existen. Pero nos falta reducir este método para que sólo sea necesario UN número, y no dos... veamos eso...


Vale aclarar que no pedí en el problema que la fórmula de TODAS las térnas pitagóricas, sino que, dado un solo número, remplazándolo en las tres fórmulas, de siempre tres números que formen una terna pitagórica.
Lo que vamos a encontrar ahora es una fórmula que si bien da siempre ternas pitagóricas primitivas, no las da todas, ahora veremos por qué.
Supongamos que tomamos como valores de a y b dos números que difieran en 1, digamos que a-b=1, o sea que b=a-1. Estos dos números tienen dos cualidades que los hacen especiales para este tema: son sompre coprimos y de distinta paridad. (Verifique esto si tiene ganas, o pregunte en los comentarios).
Por lo tanto, remplazando esto en las fórmulas originales, tenemos:


p=2.a.b=2.a.(a-1)=2a^2-2a
q=a^2-b^2=a^2-(a-1)^2=a^2-a^2+2a-1=2a-1
r=a^2+b^2=a^2+(a-1)^2=a^2+a^2-2a+1=2a^2-2a+1


Veamos si esto es cierto para algún número, por ejemplo, a=5.
p=2.25-2.5=50-10=40
q=2.5-1=10-1=9
r=2.25-2.5+1=50-10+1=41


Y se verifica que 40^2+9^2=41^2 (verifique, incrédulo!).


Por lo tanto hemos encontrado la fórmula pedida. Por haber sido calculadas pensando en a y b coprimos y de distinta paridad, siempre obtendremos TPP, pero, como dije, no todas, ya que, por ejemplo, la terna (20,21,29) nunca la hallaremos con estas fórmulas.


Saludos y cualquier consulta en los comentarios.